一、引 言
隨著計算機技術的進步，時域有限差分法（FiniteDifference TimeDomain）是一種求解電磁問題的數值計算技術，由K.S.Yee于1966年提出。他的基本思想是根據時域麥克斯韋方程的場分量微分式，用差分替代微分式，進行各場分量的迭代，但是這種方法隨著頻率升高，計算網格將顯著增加，PC機的性能將很難滿足需要，而且單純依靠計算機性能的提高也是不實際的。例如，在分析波導膜片濾波器時，為正確模擬全部膜片的幾何結構，FDTD柵網的網格尺寸選得非常小，從而導致描述整個波導濾波器的網格數量非常大。由于每兩個膜片之間都是均勻波導傳輸線，使用與膜片相同的柵網顯然是不必要的。人們曾使用非均勻FDTD柵網的辦法解決這個問題，當柵網的大小相差比較大時，不但收斂性不易控制，而且仍無法確保節省計算時間。將Diakoptics思想運用于微波電路的全波分析，通過將電路分割為若干獨立的部分，根據每部分的具體結構采用不同的網格，獨立地對各個部分進行全波時域分析，由于每部分的網格是均勻的，因而容易保證算法的收斂性。
二、Diakoptics的概念
Diakoptics的概念來源于網絡理論。其定義為：將一個網絡分解為若干子網絡，對每個子網絡的沖擊響應單獨求解，最后通過一定的連接條件，由諸子網絡的沖擊響應求出網絡總的響應。連接條件按形式不同可分為串行連接及并行連接。串行連接是依照一定的順序由網絡的一端向另一端單向連接，見圖1,其優點是簡單，但最大的問題是當其中一個子網絡的沖擊響應改變時，將對其后的網絡產生影響。并行連接可克服這個缺點。并行連接可在任意兩個相鄰的子網絡間進行，且若干并行連接可同時獨立進行，并行時域Diakoptics假設子網絡為M+N端口網絡，其中M個端口和前一級子網絡相連，N個端口和后一級子網絡相連。子網絡的離散格林函數為g（i,j,n′）即j（j=1,M+N）端口t=0時刻的激勵，在i（i=1,M+N）端口t=n′時刻的沖擊響應。
研究微波電路問題時，若微波電路可以被等效為一個線性網絡的話，則可以設想描述微波電路特性的格林函數可對應于電路理論中的沖擊響應函數。從電磁場理論角度看，時域格林函數g（r,t;r0,t0）為位于r0點的點源t0時刻施加的單位沖擊信號在觀察點r及t時刻的場，且滿足方程
兩個微波子電路連接時，其連接參考面上存在著復雜的耦合關系，這種耦合關系可以用電磁波在存在兩個不連續界面的媒質中反射和透射現象來形象描述，如圖1所示。那么如何將Diakoptics算法應用于微波電路特性分析中呢？在介紹這一點之前，本文首先簡要介紹Diakoptics算法的數學描述。
圖1 媒質中反射和透射現象可以用來形象描述兩個微波子電路間的耦合關系
三、Diakoptics算法的數學描述
以兩個二端口網絡的串、并行連接給出Diakoptics算法的數學描述。圖2假設兩個子電路的反射及透射波的沖擊響應函數分別為：gr1（t），gr2（t），gt1（t），gt2（t）和hr1（t），hr2（t），ht1（t），ht2（t），上標"r"表示反射波，"t" 表示傳輸波，下標1表示從輸入參考面對電路作激勵，下標2表示從輸出參考面對電路作激勵。設f為兩個子電路連接后電路的沖擊響應函數。使用串行算法，從f 網絡輸入參考面看入的沖擊響應為：
fr1（t）=gr1（t）+gt2（t）*hr1（t）*gt1（t）+gt2（t）*hr1（t）
*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…+gt2（t）*（hr1（t）
*gr2（t））n*hr1（t）*gt1（t）+…； （2）
使用并行算法，從f電路的輸入端口看入的沖擊響應函數fr1（t），ft2（t）以及從f電路的輸出端口看入的沖擊響應函數fr2（t），ft1（t）分別為：
fr1（t）=gr1（t）+gt2（t）*hr1（t）*gt1（t）+gt2（t）*hr1（t）
*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…+gt2（t）*（hr1（t）
*gr2（t））n*hr1（t）*gt1（t）+…
ft2（t）=gt2（t）*hr2（t）+gt2（t）*hr1（t）*gr2（t）*ht2（t）+…
+gr2（t）*（hr1（t）*gr2（t））n*hr2（t）+… （3）
fr2（t）=hr2（t）+ht1（t）*gr2（t）*ht2（t）+ht1（t）*gr2（t）
*hr1（t）*gt2（t）*ht2（t）+…+ht1（t）*（gr2（t）
*hr1（t））n*gr2（t）*ht2（t）+…
ft1（t）=ht1（t）*gt1（t）+ht1（t）*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…
+ht1（t）*（gr2（t）*hr1（t））n*gr1（t）+…
其中，*代表時域卷積，上下標的含義不變。
圖2 可說明Diakoptics算法的兩個子電路連接示意圖
多端口子電路連接時，上述算法依然成立，只是式中各沖擊函數應換為相應的子矩陣。例如設g網絡為輸入端有M個、輸出端有N個端口的M+N端口網絡，h網絡為輸入端有N個、輸出端有L個端口的N+L端口網絡（g與h相鄰面的端口數目應相同），g網絡輸入參考面處的反射、傳輸子矩陣分別為：
和
式中下標代表參考面，i←j的意思為：i為響應所在參考面，j為激勵所在參考面；上標代表端口，m←n的意思為：n為輸入端口，m為輸出端口。同理，g網絡輸出參考面處的反射、傳輸子矩陣分別為：
和
h網絡相應子矩陣可用同樣方法求得。連接后網絡的沖擊響應函數[f]為：
[fr1（t）]=[gr1（t）]+[gt2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+[gt2（t）]
*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+…
[ft2（t）]=[gt2（t）]*[ht2（t）]+[gt2（t）]*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+…
[fr2（t）]=[hr2（t）]+[ht1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+[ht1（t）]
*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+…
[ft1（t）]=[ht1（t）]*[gt1（t）]+[ht1（t）]*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+… （4）
其中[fr1（t）]、[ft1（t）]、[fr2（t）]和[ft2（t）]分別為M×M、L×M、L×L和M×L階子矩陣。下面以[gt2（t）]*[ht2（t）]為例說明如何計算矩陣卷積，并以[gt2（t）]*[ht2（t）]的第一個元素為例，說明其物理意義：
g1←11←2*h1←11←2:h子網絡輸出參考面上第一個端口的輸入通過gh連接面第1個端口的耦合在g子網絡輸入參考面上端口1產生的輸出；g1←21←2*h2←11←2:h子網絡輸出參考面上第一個端口的輸入通過gh交界面第2個端口的耦合在g子網絡輸入參考面上端口1產生的輸出；g1←N1←2*hN←11←2:h子網絡輸出參考面上第一個端口的輸入通過gh交界面第N個端口的耦合，在g子網絡輸入參考面上端口1產生的輸出；所以[gt2（t）]*[ht2（t）]的第一個元素描述了h網絡輸出參考面上第一個端口上的輸入耦合到g網絡輸入參考面第一個端口的輸出。
四、Diakoptics算法在微波電路分析中的實現
Diakoptics源于網絡理論，為將其應用于微波電路的分析中，首先需要建立適于使用Diakoptics方法的微波電路的等效電路模型。
1.微波電路的等效時域網絡模型
建立微波電路等效時域網絡模型的基本方法是：利用基函數技術（或稱時域模技術）將參考面處的場表示為選定的正交基函數的線性組合，將一個微波網絡等效為一個多模電路，進而再將多模電路等效為多端口網絡的方法。
選定的基函數滿足下述條件：只是空間坐標的函數；與時間無關；構成一個完備正交集。且對于給定的微波電路，選定的基函數應能夠有效地描述電路中電磁場的分布規律。假設：X-Y平面為電路橫截面所在平面，Z為傳播方向，電路在Dirac-δ函數激勵下在z=z0處的電場分布為 Ei（x,y,z0,t），{φmn（x,y）}為基函數族，用φmm（x,y）可將微波電路中t=t0,z=z0處的場表示為：
其中amn（z0,t0）為第（m,n）次基函數的系數，即幅度，這樣從參考面z=z0看入的微波電路可等效為一個基于基函數的等效時域多模電路。 基函數的函數形式既可以是適用于一般電路的正交函數形式，也可以是特別適用于某類電路的特殊正交函數。一般說來，當電路幾何結構比較復雜，不易根據電路特性選取特殊的正交函數作為基函數時，可以選取矩形脈沖函數（取網格結點的值作為整個網格的平均值，故脈沖寬度為一個網格的寬度）。但因脈沖函數描述的只是系統的局部信息，因此要達到足夠的精度，函數的展開項數較多。當正交函數可以有效表述電路的全局信息時，通常只需幾項或十幾項，就可以達到所需的精度。例如，對于均勻填充的矩形波導問題，如根據波導內的場的分布特性，把基函數選為{sin,cos}正交函數集，通常只需5項就可以滿足要求。相比較之下，至少需要60個脈沖即60個結點方可較準確地描述波導系統橫截面上的空間場分布。
基函數的正交性使得每一個基函數可以被視為一個獨立的端口，因此上述基于基函數的等效時域多模電路就可以進一步被視為一個多端口網絡。
2.等效多端口網絡特性的計算
沖擊函數的頻譜是無限寬的，因此不能直接使用FDTD算法求解系統的沖擊響應函數。FDTD-Diakoptics使用高斯脈沖調制波作為激勵，通過加窗Fourier變換技術，求得有限帶寬微波電路的沖擊響應函數。其中，高斯脈沖激勵的調制頻率為電路工作頻帶的中心頻率，脈沖寬度和脈沖時間采樣間隔取決于頻率分辨率和帶寬。盡管激勵脈沖具有有限帶寬導致FDTD-Diakoptics求得的沖擊響應函數中包含了加窗帶來的影響（稱此時的沖擊響應函數為準沖擊響應函數），但是只要滿足下述條件：使用FDTD-Diakoptics分析整個電路特性時，各個子電路使用具有相同頻譜特性的激勵脈沖，計入加窗對時域脈沖的展寬效應，最終得到的沖擊響應函數的頻域響應是足夠準確的。
五、FDTD-Diakoptics應用實例及討論
時域有限差分方法（Finite Difference Time Domain），簡稱FDTD.FDTD方法是把 Maxwell 方程式在時間和空間領域上進行差分化。利用蛙跳式（Leap frog algorithm）--空間領域內的電場和磁場進行交替計算，通過時間領域上更新來模仿電磁場的變化，達到數值計算的目的。用該方法分析問題的時候要考慮研究對象的幾何參數，材料參數，計算精度，計算復雜度，計算穩定性等多方面的問題。其優點是能夠直接模擬場的分布，精度比較高，是目前使用比較多的數值模擬的方法之一。
本文以一個波導帶通濾波器的特性分析為例說明該算法的應用。圖3為一個具有5個膜片的矩形波導帶通濾波器（WR34）。按照本方法首先將該濾波器分為5個部分，使用FDTD對其進行計算，求出在所有連接參考面處（圖中虛線所示）的場分布。FDTD計算中，高斯脈沖調制函數為：f（t）=AmaxA（x,y）exp[-（（t- t0）/T）2].sin（2πf0t），其中調制頻率f0為WR34-TE10模單模工作頻帶的中心頻率；A（x,y）為激勵幅度空間分布，Diakoptics算法中需計算所有可能存在的基函數單一激勵時的響應，所以A（x,y）依次選為每一個基函數。激勵函數幅度Amax取決于其沿傳播方向的衰減及計算精度，基本原則是達到不連續性處和觀察面處的場仍具有足夠大的幅度。T的取值要保證在激勵脈沖的頻譜上截止頻率點處的能量具有足夠小的值。本例中，WR34的單模工作頻帶為：fTE10=17.369GHz,fTE20=34.738GHz,f0=26.0535GHz,T=200（ps），t0=3T,Amax=10,基函數為φn（x）=sin,相應的系數an（z0,t）如圖4所示（由于文章篇幅原因，只給出一個結果）。圖5為用本文方法得到的濾波器頻率特性，圖中可見該結果與FDTD結果吻合很好。
圖3 五膜片WR34波導帶通濾波器示意圖
圖4 本文方法得到的圖3中第一個子電路反射波基函數的系數
圖5 圖3所示WR34波導濾波器的頻率特性
六、結 論
本文介紹了一種分析復雜微波電路的新方法：FDTD-Diakoptics方法，它可克服傳統的FDTD方法需要大內存、長計算時間的弊病，并可充分發揮FDTD可易于研究復雜幾何結構電路的優勢，經作者的若干分析設計實例證明，該方法不但比較靈活，且具有較高的精度，是一種比較有效的微波電路仿真分析方法。 |
